今天复习遇到一个之前略过的题，没想到会卡住，现在趁休息时积累在这里。
求极限：
\[\lim_{x\to +\infty}\left(\cfrac{2}{\pi}\arctan x\right)^x\]解：
\[\lim_{x\to +\infty}\left(\cfrac{2}{\pi}\arctan x\right)^x \\= e^{ \lim_{x\to +\infty} x \ln {\cfrac{2}{\pi}\arctan x}}=e^A\]所以有：
\[\Rightarrow A = \lim_{x\to +\infty} x \ln \cfrac{2}{\pi} \arctan x \\ \quad A=\lim_{x\to +\infty} \cfrac{\ln \cfrac{2}{\pi}\arctan x}{\cfrac{1}{x}}\\\quad A=\lim_{x\to +\infty}\cfrac{\ln \cfrac{2}{\pi}+\ln \arctan x}{\cfrac{1}{x}}\]在这里，当$ x \to +\infty $时，$ \arctan x \to \cfrac{\pi}{2} $,那么$ \cfrac{2}{\pi}\arctan x \to 1 $ ，所以 $ \ln \cfrac{2}{\pi}\arctan x \to 0 $，下边的分母也是趋于0的，所以式子满足 $ \cfrac{0}{0} $ 型，可以使用洛必达法则。
所以最后有极限 $ e^{-\cfrac{2}{\pi}} $